モジュラ－形式と保型表現入門 ー 表現論の拡がり

モジュラー形式と保型表現論の基礎を解説。解析・整数論・表現論が交差する世界への入口となる一冊。

ゼータ関数やL関数は整数論に関する豊かな情報を内包しており、それらの解析接続性や関数等式を示すために、モジュラー形式や保型表現の理論が本質的な役割を果たす。実際、フェルマーの最終定理は、楕円曲線とモジュラー形式の深い関係を与える谷山–志村予想を部分的に解くことで解決された。

本書ではモジュラー形式と保型表現論の最も基本的な事項を解説する。通例とは逆に、先にSL2(ℝ)の保型形式論を展開したあとで、そこからモジュラー形式論を復元するという話の流れをとる。
前半ではコンパクトアーベル群の表現論を概説した後、実特殊線型群上の保型形式を定義し、その特殊な場合として、正則モジュラー形式が自然に現れることを見る。この観点から、モジュラー形式は実特殊線型群の表現論を通して調べられる。
後半ではp進体上の一般線型群の表現論を展開し、保型形式をアデール環上の一般線型群に持ち上げることで、モジュラー形式の空間にヘッケ環の作用が入ることを見る。最後にホィッタッカー模型について解説し、そこから重複度一定理やヘッケ同時固有形式のフーリエ係数の関係式などの古典的な結果に対する表現論的な証明を与える。